Matemáticas con dB

Matemáticas con dB ‣ Las ondas electromagnéticas transportan potencia eléctrica, medida en milivatios (mW). ‣ Los decibelios (dB) usan una relación logarítmica para reducir las multiplicaciones a simples sumas. ‣ Se pueden simplificar los cálculos más comunes en sistemas de radio usando dBm en lugar de mW para representar valores de potencia. ‣ Es más fácil hacer los cálculos mentalmente usando dB. Vamos a resolver algunos ejercicios sencillos de conversión entre dB y mW. ‣ Toda onda electromagnética transporta energía, podemos apreciarlo cuando disfrutamos (o sufrimos) el calor del sol. ‣ La cantidad de energía recibida en en un tiempo determinado se denomina potencia. ‣ El campo eléctrico se mide en V/m (voltios por metro), y la potencia que contiene es proporcional a su cuadrado: ‣ La unidad de potencia es el vatio (W). En radio es más conveniente utilizar el milivatio (mW). La potencia P es de importancia primordial en radio (así como en otros campos): se necesita una cierta potencia mínima para que el receptor pueda discriminar la señal. En la práctica, medimos la potencia utilizando algún tipo de receptor, por ejemplo una antena y un voltímetro, un medidor de campo, analizador de espectros o inclusive una tarjeta inalámbrica y un laptop. ‣ Si se incrementa la amplitud de una onda electromagnética su potencia aumenta. Este aumento de potencia se llama ganancia. ‣ Si se disminuye la amplitud,su potencia decrece. Esta reducción de potencia se denomina pérdida. ‣ En el diseño de radioenlaces se trata de maximizar las ganancias y minimizar las pérdidas. Se “gana” señal en el transmisor usando un amplificador, o alineando apropiadamente la antena. Se “pierde” señal en los conectores, líneas de transmisión y naturalmente a medida que la onda se propaga en el medio. ‣ Los decibelios son unidades de medida relativas, a diferencia de los milivatios que constituyen unidades absolutas. ‣ El decibelio (dB) es 10 veces el logaritmo decimal del cociente de dos valores de una variable. ‣ El decibelio usa el logaritmo para permitir que relaciones muy grandes o muy pequeñas puedan ser representadas con números convenientemente pequeños. ‣ En una escala logarítmica, la referencia nunca puede ser cero porque ¡el logaritmo de cero no existe! El oído humano responde logarítmicamente a la potencia del sonido. Esta es la razón por la que el sonido también se mide en dB. ‣ La disminución de la potencia con la distancia es cuadrática en lugar de lineal. ‣ Cuando nos alejamos x metros, la señal disminuye en 1/x de acuerdo con la “ley del inverso al cuadado”. A la distancia de 1 metro → cierta cantidad de potencia A la distancia de 2 metros → 1/4 de la potencia a 1 m A la distancia de 4 metros → 1/16 de la potencia a 1 m A la distancia de 8 metros → 1/64 de la potencia a 1 m ‣ La presencia de relaciones exponenciales en la medida de de intensidad de las señales es una de las razones para utilizar una escala logarítmica. ¿Para qué usar dB? Hay una motivación física: La ley del inverso al cuadrado. Se explicará en la próxima lámina. ‣ La ley del inverso al cuadrado tiene un explicación geométrica simple: la energía irradiada se esparce sobre un área que es función de la distancia al transmisor. Figura tomada de http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_square Esta ley establece que la intensidad de cierta magnitud física es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente de la magnitud física. Se aplica en general cuando una magnitud física es irradiada desde una fuente. Como la superficie de una esfera (dada por 4πr del radio, a medida que la radiación emitida se aleja de la fuente se esparce sobre un área proporcional al cuadrado de la distancia a la misma, por lo que la radiación que atraviesa cualquier área unitaria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente. Revisión rápida de los logaritmos log(1)=0 log(0)=undefined 1 ‣ Si x=10 ‣ Loslogaritmosreducenlamultiplicaciones a sumas, Para más detalles ver http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm Pregunta: en que punto la línea cruza el número 2? ( respuesta: en100=102 modo que log10(100)=2 ) Nótese que también existen logaritmos en base al número e, denominados logaritmos neperianos, con valor numérico distinto a los logaritmos en base a ‣ Los decibelios se definen en base a logaritmos para permitir representar tanto relaciones muy grandes como muy pequeñas con números fáciles de manejar ‣ Supongamos que estamos interesados en la razón o cociente de dos valores a y b. ‣ En dB la razón se define como: ‣ Es una medida relativa,sin dimensiones (a relative a b) ‣ cociente = 10 log10(a/b) ‣ ¿Qué pasa si ahora usamos un valor que es 10 veces mayor? ‣ nuevo cociente = 10 log10(10a/b) ‣ El nuevo valor(en dB) essimplemente 10 más elvalorviejo, de modo que la multiplicación por 10 se expresa ahora simplemente como la adición de 10 unidades. Note que log10(10) = 1 El logaritmo de la base del sistema es la unidad. Algunos valores comunes y fáciles de recordar: Por ejemplo: Cierta potencia + 10 dB = 10 veces la potencia Cierta potencia – 10 dB = un décimo de la potencia Cierta potencia + 3 dB = doble de la potencia Cierta potencia – 3 dB = mitad de la potencia ¡Memorice estos valores! Los usará a menudo. ‣ ¿Que pasa si quisiéramos medir una potencia absoluta en dB? ‣ La referencia que relaciona la escala logarítmica en dB a la Tenemos que definir una referencia. escala lineal en vatios puede ser, por ejemplo esta: ‣ La nueva m en dBm se refiere al hecho que la referencia es un mW, y por lo tanto la medida en dBm es una medida de la potencia absoluta referenciada a 1 mW. ¿Que pasa si queremos usar una escala logarítmica para expresar la potencia? Para esto, tenemos que usar un valor de referencia para la potencia. Supongamos que ese valor es 1 mW. Definimos así el dBm tomando como rferencia 1 mW (milivatio) 0 dBm corresponde por lo tanto a 1 mW. Note que es imposible expresar 0 mW (cero potencia, es decir la ausencia de potencia) usando dBm! ‣ Para convertir potencia en mW a dBm: PdBm = 10 log10 PmW ‣ Para convertir potencia en dBm a mW: PmW = 10 PdBm/10 10 a la ( “Potencia en dBm” dividida Estas fórmula se basan en la definición de dBm y permiten hacer la conversión de mW a dBm y viceversa, pero hay una manera más simple que no requiere de una calculadora como veremos pronto. ‣ Ejemplo: mW a dBm ‣ Ejemplo: dBm a mW Ejemplo: imagine un radio con una potencia de100mW Ejemplo: imagine que midió una señal de 17 dBm Para estos cálculos se requiere una calculadora, pero hay una manera más simple de obtener el resultado mentalmente como veremos pronto. ‣ En dB, las pérdidas y ganancias son aditivas. Recuerde el ejemplo anterior: Cierta potencia + 10 dB = 10 veces la potencia Cierta potencia – 10 dB = un décimo de la potencia Cierta potencia + 3 dB = doble de la potencia Cierta potencia – 3 dB = mitad de la potencia Imagine una situación en la que: 10 mW + 10 dB de ganancia = 100 mW = 20 dBm 10 dBm = 10 mW = un décimo de 100mW 20 dBm – 10 dB de pérdida = 10 dBm = 10mW 50 mW + 3 dB = 100 mW = 20 dBm 17 dBm + 3 dB = 20 dBm = 100 mW 100mW – 3 dB = 50 mW = 17 dBm Usar dB facilita los cálculos, especialmente cuando se trata de ganancias y Explique estos ejemplos paso a paso, usando las relaciones expuestas y el hecho de que 100mW = 20dBm (como se vió anteriormente). Usted puede hacer otros ejemplos, o pedirle a los estudiantes que los hagan. Este gráfico puede usarse para convertir dBm a mW y viceversa. Nótese que también puede usarse para convertir dB a cocientes de